Dörtyüzlüsel Sayılar

Dörtyüzlüsel (ya da tetrahedral / üçgen piramidal) sayı, üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden biçimli sayıdır. n. dörtyüzlüsel sayı ilk n üçgensel sayının toplamına eşittir.
İlk onyedi dörtyüzlüsel sayı şunlardır:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

n. dörtyüzlüsel sayı formülü 3. artan faktöriyelin 3. faktöriyele bölümü biçiminde gösterilir.

Dörtyüzlüsel sayılar Pascal üçgeninde soldan ve sağdan dördüncü olarak konumlanmışlardır. Bu sayılar bu yüzden binom katsayılarını oluştururlar.

Dörtyüzlüsel sayılar istiflenmiş küreler biçiminde modellenebilmektedir. Örneğin, beşinci dörtyüzlüsel sayının (T₅ = 35) 35 bilardo topundan oluştuğu varsayılırsa bu topların 15'i en altta bulunan bilardo topu çerçevesinin içinde, 10'u hemen bunun üstünde, 6'sı bir üst düzeyde, 3'ü bunun hemen üstünde ve sonuncusu en üstte yer alacaktır.
A.J. Meyl 1878'de yalnızca üç dörtyüzlüsel sayının tam kare olduğunu kanıtlamıştır. Bunlar

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600

sayılarıdır.
Aynı zamanda kare piramidal sayı olan tek dörtyüzlüsel sayı 1'dir (Beukers, 1988). 1 ayrıca tam küp olan tek dörtyüzlüsel sayıdır.
Dörtyüzlüsel sayıların ilginç özelliklerinden bir diğeri bu sayıların bölmeye göre terslerinin sonsuz toplamının 3/2'ye eşit oluşudur. Bu toplam iç içe dizi yardımıyla hesaplanabilmektedir.

Taban uzunluğu 4 birim olan dörtyüzlü, dördüncü üçgensel sayı olan tetractysin 3 boyutlu benzeri olarak görülebilir. Tetractys Pisagorcular tarafından kutsal kabul edilmiştir.
Dörtyüzlüsel sayıların son basamağı tek-çift-çift-çift kalıbını izlemektedir.
Dörtyüzlüsel sayılar T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁ eşitliğini de sağlamaktadır.
Hem üçgensel hem dörtyüzlüsel olan sayılar

binom katsayısı eşitliğini sağlamaktadırlar.
Bu sayılar aşağıda sıralanmıştır.
Dörtyüzlü₁ = Üçgen₁ = 1
Dörtyüzlü₃ = Üçgen₄ = 10
Dörtyüzlü₈ = Üçgen₁₅ = 120
Dörtyüzlü₂₀ = Üçgen₅₅ = 1540
Dörtyüzlü₃₄ = Üçgen₁₁₉ = 7140